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By Sven O. Krumke

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Example text

Sei k die Anzahl der Heaps in der Liste L und n die Gesamtanzahl der Elemente. Wir betrachten den ersten Durchlauf durch die Liste L. Nach k/2 Aufrufen von L EFTIST-M ELD ist jeder der k Ausgangsheaps mit einem anderen Heap verschmolzen worden. Uns verbleiben noch k/2 Heaps. Sei ni , i = 1, . . , k/2 die Anzahl der Elemente im iten dieser Heaps. k/2 Dann ist n = i=1 ni . Wir wissen, daß ein L EFTIST-M ELD , das zu einem Heap mit ni Elementen führt, in O(log ni ) Zeit ausgeführt werden kann. Daher ist die Gesamtzeit für die k/2 Aufrufe von L EFTIST-M ELD:  O k/2 i=1  max{1, log ni } .

Somit benötigt die Initialisierung O( vi ∈V |Ei |) = O(2m) = O(m) Zeit, da jede Kante in genau zwei initialen Mengen Ei auftaucht. Es verbleibt, die Zeit für alle Iterationen der while-Schleife von Schritt 9 bis 24 abzuschätzen. Zunächst bemerken wir, daß die Schleife genau n − 1 mal durchlaufen wird: wir starten mit n Komponenten, und in jedem Durchlauf verringert sich durch Vereinigen von zwei Komponenten ihre Anzahl um eins. Man sieht leicht (vgl. auch die Kommentare im Programmcode), daß alle Operationen eines Durchlaufs bis auf die Heap-Operationen und die F IND -S ET/U NION-Operationen (die wir erst einmal ausgeklammert haben) in konstanter Zeit durchführbar sind.

Die dick gezeichneten Kanten sind jeweils in der aktuellen Lösung, die zum Schluß einen minimalen aufspannenden Baum bildet, enthalten. 4 Minimale aufspannende Bäume: Der Algorithmus von Boruvka (in Variation) 1 1-2 1-2 3 4 3-6 2 2 4-5-7 4-5-7 2 4 4-5-7 1 5 3-6 5 8 3 2 9 2 L: 0 9 3-6 1-2 4-5-7 1 (a) Verschmelzen der Komponenten 8 und 9 beendet die Phase 0. 1 1-2-4-5-7 1-2-4-5-7 3 4 3-6 2 2 1-2-4-5-7 1-2-4-5-7 2 4 1-2-4-5-7 3 1 5 3-6 5 2 8-9 8-9 L: 3-6 8-9 1 1-2-4-5-7 2 (b) Als erstes werden in Phase 1 die Komponenten 1-2 und 4-5-7 verschmolzen.

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